구간의 길이는 1이다. 구간의 끝점 1에서 시작점 0을 뺀 값으로 계산되며, 1 - 0 = 1 이 된다.
칸토어 집합을 만드는 방법
구간 [0,1] 을 만든다. 이 구간은 길이가 1인 직선의 구간이다.
이 구간의 가운데 1/3을 제거한다.
=
남은 구간.
두 구간에서 각각 가운데 1/3을 다시 제거한다.
이 과정을 무한히 반복한다
칸토어 집합의 성질
길이: 처음에는 길이가 1인 단위 구간에서 시작하지만, 각 단계마다 제거되는 부분의 총 길이의 합은 무한히 커진다. 결과적으로, 칸토어 집합의 총 길이는 0이다.
불연속적: 칸토어 집합은 연속적이지 않은 집합이다. 단위 구간 0, 1에서 1/3을 반복적으로 제거했을 때 그 과정에서 나머지는 점점 더 작아지며, 무한히 반복하다 보면 무수히 많은 점들로 이루어진 집합이 된다.
프랙탈: 칸토어 집합은 프랙탈의 성질을 가진다. 처음에는 전체 구간 [0,1]에서 가운데 1/3을 제거하고, 그 후에는 남은 구간들에서 다시 가운데 1/3을 제거하는 방식으로 일정한 패턴으로 구성되며 이 과정을 계속 반복하면, 각 단계의 결과가 서로서로 자기유사성을 보인다. 어떤 구간을 확대해 보면, 그 확대된 부분이 원래의 칸토어 집합과 유사한 구조를 가지고 있다.
칸토어 집합을 생성하는 과정에서 각 단계에서 계속해서 구간이 제거되지만, 제거되는 구간의 총 길이는 점점 더 작아지고, 결국에는 집합의 총 길이는 0이 된다. 하지만 여전히 내부에는 무한히 많은 점들이 남아 있다. 모래사장에 있는 모래알들을 계속해서 제거하면서도, 남아 있는 모래알들이 무한히 많고, 여전히 모래사장의 형태를 유지하는 것처럼, 칸토어 집합도 무한히 많은 점들로 구성되어 있는 것이다
