행렬식

행렬이란?

행렬(matrix)은 숫자를 사각형 형태로 배열한 것이다.

예를 들어, 2x2 행렬은 2개의 행과 2개의 열로 이루어져 있다.

 

2x2 행렬의 예:

행렬식이란?

행렬식은 이 행렬에 대해 계산된 하나의 숫자이다.

이 숫자는 행렬의 특성과 성질을 나타낸다.

행렬식의 계산

2x2 행렬의 행렬식

 

det(행렬식) = ad - bc 

이 계산식은 대각선 원소의 곱에서 나머지 대각선 원소의 곱을 뺀 값이다.

3x3 행렬의 행렬식

 

각 원소에 대해 2x2 행렬의 행렬식을 계산한다.

소행렬을 사용하여 원래 행렬의 크기를 줄여서 계산하여 더한다

 

1. 각 원소에 대해 소행렬을 계산한다.

 

원소 a

 

원소 b

 

원소 c

 

2. 여인수를 계산하여 부호를 반영한다

 

• 원소 a의 여인수: +a ⋅ (e⋅i−f⋅h)
• 원소 b의 여인수: −b ⋅ (d⋅i−f⋅g)
• 원소 c의 여인수: +c ⋅ (d⋅h−e⋅g)

3. 이 값을 모두 더하여 행렬식을 구한다

det(A )= a⋅(e⋅i−f⋅h)−b⋅(d⋅i−f⋅g)+c⋅(d⋅h−e⋅g)

 

소행렬 (Minor)

소행렬은 주어진 행렬에서 특정 원소를 제외한 부분의 행렬의 행렬식이다.

예를 들어, 3x3 행렬에서 a라는 원소가 있을 때

소행렬은 이 원소가 위치한 행과 열을 제외한 나머지 부분으로 구성된 행렬의 행렬식이다.

여인수 (Cofactor)

여인수는 소행렬의 행렬식에 원소의 위치에 따라 부호를 곱한 것이다.

여인수의 부호는 원소의 위치에 따라 결정된다

• 위치 (i,j)(i, j)(i,j)의 원소의 여인수는 (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j를 소행렬의 행렬식에 곱한 것이다.

행렬의 가역성 확인

행렬식이 0이 아니면, 이 행렬은 역행렬을 가진다.

• 이 행렬을 이용해 방정식을 해결할 수 있다.
• 행렬식이 0이면 역행렬이 없고 방정식에 유일한 해가 없거나 무한히 많다

역행렬

 

원래 행렬과 곱했을 때 항등행렬을 만드는 행렬

 

항등행렬

 

항등행렬은 대각선에만 1이 있고 나머지 원소는 모두 0인 정사각형 모양의 행렬이다.

 

• 행렬 A와 역행렬 (행렬 A의 역수)를 곱하면 항등행렬이 된다.
• 숫자 x의 역수는 1이 되며 이는 항등원이다. 행렬에서도 같은 개념이 적용된다.